Determinanten berechnen

Wenn man Matrizen rechnet ist eine der ersten Dinge mit den man zu tun hat die Berechnung von Determinanten. Matrizen sind einfach nur Zahlen, die zusammen in Zeilen und Spalten geschrieben werden, sogar Excel kann damit umgehen.

Die Zahlen ein Zeilen und Spalten ergeben eine Matrix, die üblicherweise mit einem großen Buchstaben bezeichnet wird. Die Determinate findet man oft mit Strichen so ählich wie Betragsstrichen notiert - und wegen der Verwechslungsgefahr verwende ich diese Schreibweise auch nicht. Schön wenn man das berechnen kann, denkt sich der Student, aber die Bedeutung der Determinante wird erst später klar, wenn man damit arbeitet.

Wenn man mal davon ausgeht dass die Werte in der Matrix ein Gleichungssystem darstellen, bei dem die gleichen Variablen wie x, y oder z in den Spalten stehen und die Zeilen eben die Zeilen des Gleichungssystems entsprechen, kann an mit der Determinante bestimmen, ob das Gleichungssystem lösbar ist. In diesem Fall ist nämlich die Determinaten ungleich null, man spricht auch von einer regulären Matrix - im anderen Fall von einer singulären Matrix, und die Determinante ist null.

Moderne Taschenrechner können Determinaten auch schon selbst berechnen. Man gibt dazu die Matrix mit eckigen Klammern ein und speichert sie in einer Variablen wie A, dann kann man mit einer Funktion wie det(A) die Determinante ausspucken lassen. Excel kann sowas auch, die Funktion heißt MDET() und bekommt als Parameter einen Zellbereich.

Es gibt Ansätze mit denen man auch von riesig großen Matrizen die Determinate berechnet kann, vor allem der LaPlace'sche Entwicklungssatz. Für Computer ist das gar kein Problem, viele Berechnungen stumpf nacheinander durchzuführen und sie die Zwischenergebnisse zu merken. Mit Stift und Papier nervt das aber sehr und wird dem Student typischerweise erspart, hier werden daher nur Martrizen im Format 2x2 und 3x3 verlangt.

Das Format 2x2 ist nun sehr einfach - das Produkt der Diagonalen wird voneinander subtrahiert. Genauer gesagt, das Produkt der Werte der Hauptdiagonale minus das der Nebendiagonale. Also eine Matrix A=[[1,2][3,4] hat det(A) = 1*4-2*3 =-2 und ist damit übrigens reguläre Matrix (weil ungleich null).

Für das Format 3x3 wird im Studium dann üblicherweise die Sarrus'sche Regel strapaziert. Dabei wird die Matrix nach rechts mit dem Bleistift um zwei Spalten erweitert, die genauso wie die ersten beiden Spalten der Matrix aussehen, also einfach die ersten beiden noch mal daneben schreiben.
So ergeben sich drei Haupt- und drei Nebendiagonalen. Die Produkte der beiden Typen werden addiert und die Ergebnisse voneinander abgezogen. So wie in diesem Fall mit B=[[1,2,3][4,5,6][7,8,9]] und det(B) = (1*5*9 + 2*6*7 + 3*4*8) - (7*5*3 + 8*6*1 + 9*4*2) = (45+84+96)-(105+48+72) = 225-225 = 0 - damit haben wir diesmal dann sogar eine singuläre Matrix!