Cramer'sche Regel

Die cramer'sche Regel wird auch als Determinantenmethode bezeichnet und ist eine Methode für die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Erfunden hats mal wieder ein Schweizer und zwar Gabriel Cramer im Jahr 1750.

Dazu eine gute und eine schlechte Nachricht. Die gute vorweg: Alle Gleichungssysteme, also auch ganz große, lassen sich damit bequem algorithmisch lösen. Die schlecht sofort hinterher: Der Rechenaufwand ist normal viel zu hoch, da dann irre viele Determinanten berechnet werden müssen. Das macht diese Regel vor allem für Computer-Programme aber sehr interessant! In der Schule werden daher aber nur 2x2- oder 3x3-Matrizen mit Lösungsvektor behandelt.

Die Anwendung ist ganz einfach. Nehmen wir mal ein Gleichungssystem wie: x-3y=5 und 6x+8y=-1. Es ergibt eine Aufgabenmatrix (Zeilen zuerst lesen) wie z.B. A=[[1,-3][6,8]] und einen Lösungsvektor L=[[5][-1]].

Durch Einsetzen des Lösungsvektor spaltenweise ergeben sich zwei Zusatzmatrizen. Erst der Lösungsvektor in die erste Spalte, es kommt Matrix A1[[5,-3][-1,8]]. Das gleich noch mal mit der zweiten Spalte: A2=[[1,5][6,-1]].

Nun kommt die Berechnung der Determinanten:
det(A)=(1*8)-(-3*6)=26
det(A1)=(5*8)-(-1*-3)=37
det(A2)=(1*-1)-(6*5)=-31

Jetzt kann Meister Cramer um die Ecke kommen, der sagt nämlich:
x =det(A1)/det(A) = 37/26
y= det(A2)/det(A) =-31/26

Leider etwas krumme Ergebnisse die sich nicht ordentlich kürzen lassen, aber die trotzdem richtig sind. Die Probe mit Kollege Gauss sei dem geneigten Leser zur Übung überlassen.