Extremstellen und Sattelpunkte mit Jacobi-Matrix bestimmen

Wer nun an die Analysis denkt, hat natürlich völlig recht. Aber man kann über die Determinante der Jacobi-Matrix mit den partiellen Ableitungen mehrdimensionaler Funktionen Extremstellen und Sattelpunkte bestimmen.

Ein Beispiel möge das verdeutlichen, nehmen wir eine Funktion wie:
f=x²-4xy+6y²-x+2y+1

Dann ergeben sich partielle Ableitungen:
fx=2x+4y-1
fy=-4y+12+2

Beide lassen sich auf Null setzen um die Nullstellen der ersten Ableitungen sowohl von x als auch von y zu bestimmen:
2x-4y-1=0 und -4x+12y+2=0
Mit diesen Einsetzungen ergibt sich nach trivialen Umformungen:
y=0, x=0.5

Nun werden weitere partielle Ableitungen gebildet, dabei ist nach dem Satz von Schwarz fxy immer gleich fyx. Trotzdem kann man locker eben beide bestimmen um eine Probe gegen die üblichen Flüchtigkeitsfehler bei den partiellen Ableitungen zu haben.
fxx=2
fxy=fyx=4
fyy=12

Die Jacobi-Matrix wird im zweidimensionalen Fall mit [[fxx,fxy][fyx,fyy] notiert und wir haben damit J=[[2,-4][-4,12]] und det(J)=8.

Wäre det(J)<0 hätten wir einen Sattelpunkt. Ist sie aber nicht, im Fall det(J)>0 muss nun überprüft werden, ob fxx und fyy beide >0 sind. Hier sind beide >0, daher haben wir ein Minimum. Im Fall von fxx und fyy <0 wäre es ein Maximum gewesen.