Skalarprodukt

Vektoren addieren erscheint simpel und lässt sich auch gut veranschaulichen. Die Multiplikation dagegen ist Definitionssache. Die normale Matrizen-Multiplikation (so mit dem Falk-Schema) funktioniert wegen der Dimensionen nicht.

Neben dem Kreuzprodukt oder Vektorprodukt, wo das Ergebnis ein Vektor ist, gibt es auch das Skalarprodukt, wo man einen Skalar, also eine Zahl, als Ergebnis bekommt.

Das ganze darf man auch nicht mit der S-Multiplikation verwechseln! Während bei der Skalarmultiplikation zwei Vektoren multipliziert werden und eine Zahl raus kommt, wird bei der S-Multiplikation einfach ein Vektor verlängert oder verkürzt indem er mit einer Zahl (aber eben auch ein Skalar um die Vewrirrung komplett zu machen) multipliziert wird.

Also unbedingt merken: Skalarprodukt heißt so, weil ein Skalar rauskommt. Und zwar hat man das so definiert:
A*B = a*b*cos(phi)
Auf Deutsch: Das Skalarprodukt von den Vektoren A und B ergibt das Produkt der Längen der Vektoren mal den Cosinus des zwischen den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels.

Das ist ganz irre nützlich, weil man diesen Winkel damit bestimmen kann: Die Länge der Vektoren ist nämlich direkt aus diesen zu berechnen, Peter Pythagoras ist dabei unser Freund. Man kann sich das dann so umstellen:
cos(phi) = (A*B)/(a*b)
Wäre das Ergebnis kein Skalar, könnten wir auch nicht durch die Längen teilen. So brauchen wir aber nur noch das Ergebnis des Bruchs mit dem Arcuscosinus weiterzurechnen und haben den Winkel.

Interessanterweise ist der Cosinus von 90° immer Null - das bedeutet dann weiter, dass man mit dem Skalarprodukt sehr schon auf orthogonale, also rechtwinklig aufeinander stehende Vektoren prüfen kann. Bei der Normalenform macht man sich das zu nutze, indem man eine Gleichung hat die Null sein muss.

Alle Punkte die man einsetzen kann und bei der die Gleichung Null wird liegen in der Ebene, weil ein Vektor zu diesem Punkt senkrecht zu dem Normalenvektor der genau diese Ebene definiert stünde. Bei der Hesse'schen Normalform (also die mit dem Normalenvektor mit der Länge eins) bekommt man wegen des enthaltenen Skalarprodukts sogar direkt den Abstand zur Ebene statt Null raus.

Der Vollständigkeit halber noch die Berechnung des Skalarprodukts: Vektoren nebeneinander schreiben, a1 mit b1, a2 mit b2, a3 mit b3 multiplizieren und die Produkte zusammenaddieren. Beispiel: [1,2,3] mal [4,5,6] ist: 1*4+2*5+3*6 = 32.